Question

8．已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧$\widehat{AC}$上的點（不與點A，C重合），延長BD至E，延長AD交BC的延長線于F
（1）求證：∠CDF=∠EDF；
（2）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)A，B，C，D 四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因為AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根據(jù)割線定理即可得到結論．

解答 證明：（I）∵A，B，C，D 四點共圓，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AF，
∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AF，
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，
根據(jù)割線定理DF•AF=FC•FB，
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

點評 本題以圓為載體，考查圓的內接四邊形的性質，考查等腰三角形的性質，考查三角形的相似，屬于基礎題．