Question

9．設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，定義：若f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心”，請(qǐng)你運(yùn)用這一發(fā)現(xiàn)處理下列問題：
設(shè)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，則$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=2015．

Answer 1

分析 求出g（x）的對(duì)稱中心，根據(jù)函數(shù)的中心對(duì)稱特點(diǎn)將2015的函數(shù)值兩兩組合求出．

解答 解：g″（x）=2x-1，令g″（x）=0得x=$\frac{1}{2}$，g（$\frac{1}{2}$）=1．
∴g（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$，1）．
∴g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2015}{2016}$）=g（$\frac{2}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）=g（$\frac{3}{2016}$）+g（$\frac{2013}{2016}$）=…=g（$\frac{1007}{2016}$）+g（$\frac{1009}{2016}$）=2，
∴$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=1007×2+g（$\frac{1008}{2016}$）=1007×2+g（$\frac{1}{2}$）=2014+1=2015．
故答案為2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)求值，屬于中檔題．