Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x²-x|+|x²+$\frac{1}{x}$|（x≠0）．
（1）求證：f（x）≥2；
（2）若?x∈[1，3]，使f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)證明即可；
（2）問題等價(jià)于2x²-x≥a，求出2x²-x的范圍，從而求出a的范圍即可．

解答 證明：（1）f（x）=|x²-x|+|x²+$\frac{1}{x}$|≥|x²-x-（x²+$\frac{1}{x}$）|=|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取“=”，
∴f（x）≥2；
解：（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x²-x≥0，x²+$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）=2x²-x+$\frac{1}{x}$，
∴f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$等價(jià)于2x²-x≥a，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，2x²-x∈[1，15]，
若?x∈[1，3]，使f（x）≥$\frac{ax+1}{x}$成立，則a≤15，
故實(shí)數(shù)a的范圍是（-∞，15]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．