Question

【題目】如圖，某市建有貫穿東西和南北的兩條垂直公路，，在它們交叉路口點(diǎn)處的東北方向建有一個(gè)荷花池，荷花池的外圍是一條環(huán)形公路，荷花池中的固定觀景臺(tái)位于兩條垂直公路的角平分線上，與環(huán)形公路的交點(diǎn)記作．游客游覽荷花池時(shí)，需沿公路先到達(dá)環(huán)形公路處.為了分流游客，方便游客游覽荷花池，計(jì)劃從靠近公路，的環(huán)形公路上選，兩處（，關(guān)于直線對(duì)稱）修建直達(dá)觀景臺(tái)的玻璃棧道，．以，所在的直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，靠近公路，的環(huán)形公路可用曲線近似表示，曲線符合函數(shù)．

（1）若百米，點(diǎn)到的垂直距離為1百米，求玻璃棧道的總長度；

（2）若要使得玻璃棧道的總長度最小為百米，求觀景臺(tái)的位置．

Answer 1

【答案】（1）百米．（2）

【解析】

(1)由百米可得，點(diǎn)到的垂直距離為1百米可得，用平面兩點(diǎn)間的距離公式可求解答案.
(2)根據(jù)題意即的最小值為，設(shè)，，則
,然后換元求出最值，解出的值.

解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，解得，即點(diǎn)．

因?yàn)辄c(diǎn)到的垂直距離為1百米，所以點(diǎn)；

所以，

又因?yàn)?/span>，關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)在直線上，

所以．即．

所以玻璃棧道的總長度是百米．

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)定點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?/span>，關(guān)于直線對(duì)稱，

點(diǎn)在直線上，所以．

，則，

令，則，

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)減，所以

函數(shù)，圖象對(duì)稱軸是，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

即在時(shí)有最小值，

由題意，因?yàn)?/span>，所以．

所以若要使得玻璃棧道總長度最小為百米，觀景平臺(tái)的坐標(biāo)是．