Question

10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長為4，且AC₁⊥B₁C，則三棱柱的體積為（　　）

• A． 32$\sqrt{3}$
• B． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
• C． 23$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長為2a，建立空間直角坐標系，利用AC₁⊥B₁C，可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，解得a即可得出．

解答 解：設(shè)底面邊長為2a，建立空間直角坐標系，
則C（0，-a，4），B₁（0，a，0），C₁（0，-a，0），A（$\sqrt{3}$a，0，4）．
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-2a，4），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$（-\sqrt{3}a，-a，-4）$．
∵AC₁⊥B₁C，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+2a²-16=0，
解得a=2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2a）^{2}$=$8\sqrt{3}$．
則三棱柱的體積V=AA₁•S_△ABC=$4×8\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了直三棱柱的性質(zhì)及其體積計算公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．