Question

20．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（0）=3，且函數(shù)f（x-1）為奇函數(shù)，f（x+3）為偶函數(shù)，則f（2014）+f（2015）=-3．

Answer 1

分析 由f（x-1）為奇函數(shù)，f（x+3）為偶函數(shù)，可求出f（x）的周期為16．所以f（2014）+f（2015）=f（-2）+f（-1）即可求出．

解答 解：∵f（x-1）為奇函數(shù)，
∴f（x-1）=-f（-x-1）．①
 對(duì)①式 令x=1 得 f（0）=-f（-2）
∴f（-2）=-f（0）=-3．
 對(duì)①式 令x=0 得 f（-1）=-f（-1）
∴f（-1）=0
∵f（x+3）為偶函數(shù)，
∴f（x+3）=f（-x+3）②
由①②可知
 f（x）=f[（x+1）-1]=-f[-（x+1）-1]=-f（-x-2）
=-f[（-x-5）+3]=-f[（x+5）+3]=-f（x+8）．
∵f（x）=-f（x+8），
∴f（x+8）=-f（x+8+8）=-f（x+16），
∴f（x）=f（x+16），
∴f（x）是以16為周期的周期函數(shù)．
∴f（2014）=f（126×16-2）=f（-2）=-3，f（2015）=f（126×16-1）=f（-1）=0．
∴f（2014）+f（2015）=-3
故答案為-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，求得f（x）的周期是關(guān)鍵，考查學(xué)生理解奇偶函數(shù)的性質(zhì)并靈活轉(zhuǎn)化運(yùn)用的能力，屬于中檔題．