Question

13．對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足
①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常數(shù)）；
②對(duì)于D內(nèi)任意x₂，當(dāng)x₂∉[a，b]時(shí)總有f（x₂）＞c，則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
判斷f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|，f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 考查函數(shù)是否全部具備“平底型”函數(shù)的定義中的2個(gè)條件：①在一個(gè)閉區(qū)間上，函數(shù)值是個(gè)常數(shù)；②在閉區(qū)間外的定義域內(nèi)，函數(shù)值大于此常數(shù)．

解答 解：①f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|是“平底型”函數(shù)，
∵存在區(qū)間[0，1]使得f₁（x）=1，在區(qū)間[0，1]外，f₁（x）＞1，
∴f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|是“平底型”函數(shù)．
②f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|不是“平底型”函數(shù)，
∵在（-∞，0]上，f₂（x）=-1，在（-∞，0]外，f₂（x）＞-1，（-∞，0]不是閉區(qū)間．
∴f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|不是“平底型”函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查函數(shù)概念及構(gòu)成要素，及不等式中的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．