Question

8．已知某工廠生產(chǎn)某高科技電子產(chǎn)品的月固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬件需另外投入2.7萬元，設(shè)該工廠每一個(gè)月內(nèi)共生產(chǎn)該高科技電子產(chǎn)品x萬件并全部銷售完，每1萬件的銷售收入為R（x）萬元，且
R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10.8-\frac{1}{30}{x}^{2}，0＜x≤10}\\{\frac{108}{x}-\frac{1000}{3{x}^{2}}，x＞10}\end{array}\right.$
（Ⅰ）寫出月利潤W（單位：萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）當(dāng)月產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該工廠在這一高科技電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲月利潤最大？
（注：月利潤=月銷售收入-月總成本）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)年利潤=年銷售收入-年總成本，可得年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y=x（10.8-$\frac{1}{30}$x²）-20-2.7x=8.1x-$\frac{1}{30}$x³-20，
當(dāng)x＞10時(shí)，y=（$\frac{108}{x}$-$\frac{1000}{3{x}^{2}}$）x-20-2.7x=88-（$\frac{1000}{3x}$+2.7x），
∴y=$\left\{\begin{array}{l}8.1x-\frac{1}{30}{x}^{3}-20，0＜x≤10\\ 88-（\frac{1000}{3x}+2.7x），x＞10\end{array}\right.$，
（Ⅱ）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y′=8.1-$\frac{1}{10}$x²，令y′=0可得x=9，
x∈（0，9）時(shí)，y′＞0；x∈（9，10]時(shí)，y′＜0，
∴x=9時(shí)，y_max=28.6萬元；
②當(dāng)x＞10時(shí)，y=88-（$\frac{1000}{3x}$+2.7x）≤88-60=22（萬元）
（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{100}{9}$時(shí)取等號(hào)）…（10分）
綜合①②知：當(dāng)x=9時(shí)，y取最大值…（11分）
故當(dāng)年產(chǎn)量為9萬件時(shí)，服裝廠在這一高科技電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲年利潤最大…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．