Question

17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n²-2n+1（n∈N^*）

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明，只要利用歸納假設(shè)證明：當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²+2k+1=2（k+1）²-2（k+1）+1=右邊即可．

解答 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊，此時(shí)等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²-2k+1（k∈N^*）成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²-2k+1+（2k+1）+（2k-1）=2k²+2k+1=2（k+1）²-2（k+1）+1=右邊，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
綜上可得：對(duì)于?n∈N^*，1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n²-2n+1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．