Question

19．已知二項(xiàng)式${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，結(jié)合第四項(xiàng)的未知數(shù)的冪指數(shù)等于零，求得n的值．
（2）本題即求${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項(xiàng)系數(shù)和，令x=1，可得它的結(jié)果．
（3）設(shè)${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值為A_r+1，且A_r+1為最大值，求得r的值，檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴${T_4}=C_n^3{（\sqrt{x}）^{n-3}}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^3}=C_n^3{（-2）^3}{x^{\frac{n-5}{2}}}$，∴$\frac{n-5}{2}$=0，∴n=5．
（2）由（1）知n=5，∴${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和即${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項(xiàng)系數(shù)和，
令x=1，可得${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各項(xiàng)系數(shù)和為3⁵．
（3）設(shè)${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值為A_r+1，且A_r+1為最大值，
則$\left\{\begin{array}{l}{A_{r+1}}≥{A_r}\\{A_{r+1}}≥{A_{r+2}}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}12-2r≥r\\ r+1≥10-2r\end{array}\right.⇒3≤r≤4$，∵r∈N^*，∴r=3或4，
又∵r=3時(shí)，${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$是展開(kāi)式中第四項(xiàng)，其系數(shù)是負(fù)值，∴r=4，
故${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為：${T_5}=C_5^4{（\sqrt{x}）^1}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^4}=C_5^4{（-2）^4}{x^{-\frac{5}{6}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．