Question

10．若x，y且x+y＞2，則$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$的值滿足（　　）

• A． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都大于2
• B． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都小于2
• C． $\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$中至少有一個(gè)小于2
• D． 以上說(shuō)法都不對(duì)

Answer 1

分析 根據(jù)反證法假設(shè)$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都不小于2，相加得到矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，判斷結(jié)論即可．

解答 解：假設(shè)$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$都不小于2．
因?yàn)閤＞0，y＞0，
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
兩式相加得1+x+1+y≥2（x+y），
即x+y≤2，這與x+y＞2相矛盾，
因此1+xy與1+yx中至少有一個(gè)小于2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)，考查反證法的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．