Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和是S_n，若數(shù)列{a_n}的各項按如下規(guī)則排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$，…，$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…，$\frac{n-1}{n}$，…，有如下運算和結(jié)論：
①a₂₃=$\frac{3}{8}$；
②S₁₁=$\frac{31}{6}$；
③數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比數(shù)列；
④數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n項和T_n=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$；
在橫線上填寫出所有你認(rèn)為是正確的運算結(jié)果或結(jié)論的序號②④．

Answer 1

分析 將數(shù)列的項進行重新分組，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：由題意可得，分母為2的有一個，分母為3的有2個，分母為4的有3個，分母為5的有4個，分母為6的有5個，…
由于1+2+3+4+5+6=21，
故a₂₃是分母為8的第二個，即a₂₃=$\frac{2}{8}$．故①錯誤，
把原數(shù)列分組，分母相同的為一組：（$\frac{1}{2}$）；（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）；（$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$）；（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）；$\frac{1}{6}$…；
發(fā)現(xiàn)他們的個數(shù)是1，2，3，4，5…，
構(gòu)建新數(shù)列{b_n}表示數(shù)列中每一組的和，則b_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+1}+…+\frac{n}{n+1}$=$\frac{\frac{（n+1）n}{2}}{n+1}$=$\frac{n}{2}$是個等差數(shù)列，
記b_n的前n項和為T_n，
則S₁₁=T₄+a₁₁=$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{31}{6}$；故②正確，
由②知{b_n}為等差數(shù)列，故③錯誤，
由②知{b_n}為等差數(shù)列，且故b_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+1}+…+\frac{n}{n+1}$=$\frac{\frac{（n+1）n}{2}}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，
則前n項和T_n=$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$，故④正確，
故正確的是②④
故答案為：②④

點評 本題目主要考查學(xué)生對數(shù)列的觀察能力，找出數(shù)列之間的相互關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和計算公式，根據(jù)已有條件計算．考查學(xué)生的計算能力以及對問題的分析能力．