Question

已知點M到點F(0,1)和直線l:y=-1的距離相等,求點M的軌跡方程.

Answer 1

解:設點M的坐標為(x，y)，點M的軌跡就是集合P=｛M｜｜MF｜＝｜MQ｜｝，其中Q是點M到直線y=-1的垂線的垂足.由兩點間距離公式及點到直線的距離公式,得=｜y+1｜，將上式兩邊平方，得x²+(y-1)²=(y+1)²，化簡，得y=x².   ①

下面證明方程①是所求軌跡的方程.

(1)由求方程的過程，可知曲線上的點的坐標都是方程①的解；

(2)設點M₁的坐標(x₁，y₁)是方程①的解，那么y₁=x₁²，即x₁²＋（y₁-１）²＝（y₁＋１）²，=｜y₁+1｜，｜M₁F｜＝｜M₁Q₁｜.其中Q₁是點M₁到直線y=-1的垂線的垂足,因此點M₁是曲線上的點.

由(1)(2)，可知方程①是所求軌跡的方程，圖形如上圖所示.