Question

已知點M到點F(0，1)和直線l:y=-1的距離相等，求點M的軌跡方程．

Answer 1

解:設(shè)點M的坐標為(x，y)，點M的軌跡就是集合P={M||MF|=|MQ|}，其中Q是點M到直線y=-1的垂線的垂足．

    由兩點間距離公式及點到直線的距離公式得=|y+1|，

    將上式兩邊平方得x²+(y-1)²=(y+1)²，化簡得y=x².                        ①

    下面證明方程①是所求軌跡的方程．

    (1)由求方程的過程可知，曲線上的點的坐標都是方程①的解；

    (2)設(shè)點M₁的坐標(x₁，y₁)是方程①的解，那么y₁=x₁²，

    即x₁²+（y₁-1）²=（y₁+1）²，=|y₁+1|，|M₁F|=|M₁Q₁|．

    其中Q₁是點M₁到直線?y=-1的垂線的垂足,因此點M₁是曲線上的點．

    由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如下圖所示．