Question

7．如圖，空間四邊形ABCD，∠CAD=45°，cos∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，AC=$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，AD=2$\sqrt{5}$，BC=6，若點E在線段AC上運動，則EB+ED的最小值為7．

Answer 1

分析 在△ACD中，由已知結合余弦定理和正弦定理求得CD，cos∠ACD的值，然后展開多面體，在△BCD中利用余弦定理求解．

解答 解：在△ACD中，由AC=$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，AD=2$\sqrt{5}$，∠CAD=45°，
利用余弦定理得：$C{D}^{2}=（\sqrt{15}+\sqrt{10}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}-2×2\sqrt{5}$×$（\sqrt{15}+\sqrt{10}）cos45°$=25，∴CD=5．
再由正弦定理得：$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{sinC}$，即sin∠ACD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求得cos∠ACD=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
展開多面體如圖：

EB+ED的最小值為BD，
在△BCD中，BC=6，CD=5，
∵cos∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，cos∠ACD=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴cos∠BCD=$2×（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}-1=\frac{1}{5}$．
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}-2×6×5×\frac{1}{5}}=7$．
∴EB+ED的最小值為7．
故答案為：7．

點評 本題考查多面體表面上的最短距離問題，該類問題的解法是：首先剪展，然后在三角形中借助于正弦定理或余弦定理求解，是中檔題．