Question

17．已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與x軸、y軸的正半軸分別交與點(diǎn)A，B，則當(dāng)|MA|²+|MB|²取得最小值時(shí)，直線l的方程為x+y-2=0．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y-1=k（x-1）（k＞0），則A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），可得|MA|²+|MB|²=（-$\frac{1}{k}$）²+1+1+（-k）²=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線方程為y-1=k（x-1）（k＞0），則A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），
∴|MA|²+|MB|²=（-$\frac{1}{k}$）²+1+1+（-k）²=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)k=-1，
∴當(dāng)|MA|²+|MB|²取得最小值時(shí)，直線l的方程為y-1=-x+1，即x+y-2=0，
故答案為：x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．