Question

9．已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．
（I）求函數(shù)g（x）的值域；
（Ⅱ）解方程：f（x）=g（x）．

Answer 1

分析 （I）由2^|x|≥1，可得0＜$\frac{1}{{2}^{|x|}}$≤1，即可得出函數(shù)g（x）的值域．
（2）f（x）=g（x），可得2^x=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．對(duì)x分類(lèi)討論化為一元二次方程類(lèi)型方程解出即可．

解答 解：（I）∵2^|x|≥1，∴0＜$\frac{1}{{2}^{|x|}}$≤1，∴2＜g（x）≤3．
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?，3]；
（2）f（x）=g（x），∴2^x=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．
當(dāng)x≥0時(shí)，化為2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2，即（2^x）²-2×2^x-1=0，∴2^x=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1，∴x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．
當(dāng)x＜0時(shí)，化為2^x=$\frac{1}{{2}^{-x}}$+2，即2=0，無(wú)解．
綜上可得：方程f（x）=g（x）的解為x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．