Question

17．建造一個(gè)容積為8m³、深2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，池底任一邊長(zhǎng)度不得小于1m，如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m²和80元/m²，總造價(jià)y（元）關(guān)于底面一邊x（m）的函數(shù)解析式為f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求出該函數(shù)的定義域；
（2）x取何值時(shí)，總造價(jià)最低？

Answer 1

分析 （1）通過水池的容積及深度可知水池底面面積為4m²，利用“總造價(jià)=池底造價(jià)+池壁造價(jià)”計(jì)算即得結(jié)論；
（2）利用基本不等式可知x+$\frac{4}{x}$≥4當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意可知水池底面面積為$\frac{8}{2}$=4m²，
則f（x）=120×4+80×2（2x+2×$\frac{4}{x}$）
=480+320（x+$\frac{4}{x}$），
∵池底任一邊長(zhǎng)度不得小于1m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\frac{4}{x}≥1}\end{array}\right.$，即該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤4}；
（2）∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{4}{x}$即x=2時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=2時(shí)總造價(jià)最低為480+320（2+$\frac{4}{2}$）=1760元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．