Question

【題目】已知，函數(shù)的圖象與軸相切．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，根據(jù)圖像特征，可得，解方程即可求得實(shí)數(shù)a

（2）由（1）得，再令導(dǎo)數(shù)為0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)增減性即可

（3）當(dāng)時(shí)，恒有等價(jià)于，當(dāng)時(shí)恒成立，再利用來研究函數(shù)的單調(diào)性，由于一階導(dǎo)數(shù)無法直接判斷正負(fù)，故需求解二階導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的存在，還需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)一步驗(yàn)證函數(shù)的恒成立問題即可

解：（1），設(shè)切點(diǎn)為，

依題意，即解得，所以．

(2) ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（3）令，．

則，令，則，

（�。┤� ，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，

所以，所以即在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，而，

所以，即成立．

（ⅱ）若，可得在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，，

所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，

所以即在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

從而在上單調(diào)遞減，

而，所以當(dāng)時(shí)，，即不成立

綜上所述的取值范圍是