Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+7|+|x-1|-m}$的定義域?yàn)镽．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式|x-3|-2x＜2m-12．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)定義域，等價(jià)為|x+7|+|x-1|-m≥0恒成立，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由題意可得m=8，不等式|x-3|-2x＜2m-12即為|x-3|-2x＜4，對(duì)x討論，去絕對(duì)值，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+7|+|x-1|-m}$的定義域?yàn)镽，
∴等價(jià)為|x+7|+|x-1|-m≥0，
即|x+7|+|x-1|≥m，
∵|x+7|+|x-1|≥|（x+7）-（x-1）|=8，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+7）（x-1）≤0，取得等號(hào)，
∴m≤8，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，8]，
（Ⅱ）由題意可得m=8，不等式|x-3|-2x＜2m-12即為
|x-3|-2x＜4，
當(dāng)x≥3時(shí)，x-3-2x＜4，解得x＞-7，即為x≥3；
當(dāng)x＜3時(shí)，3-x-2x＜4，解得x＞-$\frac{1}{3}$，即為-$\frac{1}{3}$＜x＜3．
綜上可得，x＞-$\frac{1}{3}$，
則不等式的解集為（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法和性質(zhì)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題及定義域的求法，屬于中檔題．