Question

10．（1）運(yùn)用完全歸納推理證明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒為正數(shù)．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）可對(duì)x的所有不同取值逐一給出證明，即完全歸納推理；
（2）巧用“1”，將$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$轉(zhuǎn)化為可以用基本不等式的形式證明．

解答 （1）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）各項(xiàng)都是正數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）為正數(shù)，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x⁶+x²（1-x）+（1-x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x³（x³-1）+x（x-1）+1＞0．
綜上所述，f（x）的值恒為正數(shù)；
（2）因?yàn)閍，b，c∈R⁺，a+b+c=1，所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}+\frac{a+b+c}{c}$=3+（$\frac{a}+\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}+\frac{c}$）≥3+2+2+2≥9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)值的判斷，采用分類討論的思想，以及完全歸納推理、基本不等式的運(yùn)用證明不等式的問題，屬于基礎(chǔ)題．