Question

5．已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）求證：f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）解不等式f（log₂（2x+1））＞0；
（3）若f（x）＜m²-2am+1對任意的a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據增函數的定義，設任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，然后作差，根據f（x）為奇函數，以及條件$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，便可證明f（x₁）＜f（x₂），這便證出f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）可將原不等式變成f（log₂（2x+1））＞f（0），這樣根據f（x）的定義域及在定義域上為增函數便可得到0＜log₂（2x+1）≤1，根據對數函數的單調性便可得出原不等式的解集；
（3）容易得出f（x）在[-1，1]上的最大值為1，從而可得到m²-2am＞0在a∈[-1，1]上恒成立，可設g（a）=-2ma+m²，從而需滿足g（-1）＞0，且g（1）＞0，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出實數m的取值范圍．

解答 解：（1）證明：設x₁，x₂∈[-1，1]，則-x₂∈[-1，1]；
∵f（x）為奇函數；
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}•（{x}_{1}-{x}_{2}）$；
由已知$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}＞0$，又x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上為增函數；
（2）∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數；
∴f（0）=0；
∴由f（log₂（2x+1））＞0得，f（log₂（2x+1））＞f（0）；
∵f（x）在[-1，1]上單調遞增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤lo{g}_{2}（2x+1）≤1}\\{lo{g}_{2}（2x+1）＞0}\end{array}\right.$；
即0＜log₂（2x+1）≤1；
解得$0＜x≤\frac{1}{2}$；
∴原不等式的解集為$（0，\frac{1}{2}]$；
（3）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上單調遞增；
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為1；
∴1＜m²-2am+1，即-2m•a+m²＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立；
設g（a）=-2m•a+m²，則g（-1）＞0，且g（1）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$；
解得m＜-2，或m＞2；
∴實數a的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 考查奇函數的定義，奇函數f（x）在原點有定義時，f（0）=0，增函數的定義，以及根據增函數的定義證明一個函數為增函數的方法和過程，根據單調性求函數的最大值，關于函數恒成立問題的處理方法．