Question

16．已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx，g（x）=$\frac{1}{x}$+lnx．
（1）求g（x）在x=1處的切線方程；
（2）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為y′=m+$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的導(dǎo)數(shù)為
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
g（x）在x=1處的切線斜率為k=0，
切點(diǎn)為（1，1），
即有g(shù)（x）在x=1處的切線方程為y=1；
（2）∵y=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-lnx=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx，
∴y′=m+$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在x∈[1，+∞）上恒成立．
又$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得最大值1．
所以m≥1．
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與切線方程與最值，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．