Question

4．已知a＞0，且a≠1，討論f（x）=a${\;}^{-{x}^{2}+3x+2}$的單調(diào)性．

Answer 1

分析 令t=-x²+3x+2，求出該函數(shù)的單調(diào)期間，然后分類討論外函數(shù)y=f（x）=g（t）=a^t的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：令t=-x²+3x+2，當(dāng)x∈（-∞，$\frac{3}{2}$）時，函數(shù)t=-x²+3x+2為增函數(shù)，當(dāng)x∈（$\frac{3}{2}，+∞$）時，函數(shù)t=-x²+3x+2為減函數(shù)．
而當(dāng)0＜a＜1時，外函數(shù)y=f（x）=g（t）=a^t為減函數(shù)，
∴復(fù)合函數(shù)在（-∞，$\frac{3}{2}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{3}{2}，+∞$）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時，外函數(shù)y=f（x）=g（t）=a^t為增函數(shù)，
∴復(fù)合函數(shù)在（-∞，$\frac{3}{2}$）上為增函數(shù)，在（$\frac{3}{2}，+∞$）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．