Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R．求xy的最大值．

Answer 1

分析 （I）建立坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式計(jì)算．
（II）根據(jù)模長(zhǎng)列出方程，利用基本不等式解出最大值．

解答 解：（1）以AB為x軸，以A為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖：
則A（0，0），B（1，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）.$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$．
（2）$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$=（x-$\frac{y}{2}$，$\frac{\sqrt{3}y}{2}$）．
∵|$\overrightarrow{AP}$|=1．∴（x-$\frac{y}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}y}{2}$）²=1．
∴x²+y²=1+xy≥2xy．∴xy≤1．
∴xy的最大值是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．