Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)且MF₂⊥x軸，設(shè)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若△PF₁F₂面積的最大值是△OMF₂面積的3倍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，可得M（c，$\frac{^{2}}{a}$），利用△PF₁F₂面積的最大值是△OMF₂面積的3倍，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=3×$\frac{1}{2}×c×\frac{^{2}}{a}$，b=$\frac{2}{3}$a，求出a，c的關(guān)系，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：由題意，可得M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∵△PF₁F₂面積的最大值是△OMF₂面積的3倍，
∴$\frac{1}{2}×2c×b$=3×$\frac{1}{2}×c×\frac{^{2}}{a}$，
∴b=$\frac{2}{3}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．