Question

14．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，它的焦點與拋物線C₂：x²=4y的焦點間的距離為2．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)C₁與C₂在第一象限的交點為A，過A斜率為k（k＞0）的直線l₁與C₁的另一個交點為B，過點A與l₁垂直的直線l₂與C₂的另一個交點為C，設(shè)m=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和焦點坐標(biāo)可得c，a，再由橢圓的a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，求得|AB|，再設(shè)直線AC的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|AC|，再求m的范圍，即可得到．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
拋物線C₂：x²=4y的焦點為（0，1），
橢圓的焦點為（±c，0），
即有$\sqrt{1+{c}^{2}}$=2，解得c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{6}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）聯(lián)立橢圓方程和拋物線方程，解得A（2，1），
由題意得直線AB的方程為y-1=k（x-2），聯(lián)立橢圓方程消去y，
得（2k²+1）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-6=0，
則x_Ax_B=$\frac{2（1-2k）^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$，x_A+x_B=-$\frac{4k（1-2k）}{1+2{k}^{2}}$，
∵x_A=2，∴x_B=$\frac{2（2{k}^{2}-2k-1）}{1+2{k}^{2}}$，
即有|AB|²=（1+k²）|x_A-x_B|=（1+k²）•$\frac{4k+4}{1+2{k}^{2}}$，
直線AC的方程為y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），聯(lián)立拋物線方程，消去y，得x²+$\frac{4}{k}$x-4-$\frac{8}{k}$=0，
∴x_Ax_C=-4-$\frac{8}{k}$，x_A+x_C=-$\frac{4}{k}$，
∵x_A=2，∴x_C=-$\frac{2（k+2）}{k}$，
即有|AC|²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）|x_A-x_C|=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）•$\frac{4k+4}{k}$，
則有m²=$\frac{|AB{|}^{2}}{|AC{|}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$＜2，
即有0＜m＜$\sqrt{2}$．
則m的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和焦點坐標(biāo)，同時考查直線方程和橢圓方程，拋物線方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，以及弦長公式，注意化簡整理，屬于中檔題．