Question

5．過焦點(diǎn)為F的拋物線y²=4x上一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q，若∠QPF=120°，則|PF|=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 通過設(shè)P（m，n）（不妨令m、n均為正數(shù)），利用△QPF為等腰三角形及銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為：F（1，0），
拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1，
不妨設(shè)P（m，n）（m、n均為正數(shù)），則4m=n²，
∴|PQ|=1+m，|FQ|=$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$，
由拋物線的定義可知：|PF|=|PQ|=1+m，
∴△QPF為等腰三角形，
又∠QPF=120°，∴$\frac{1}{2}$|FQ|=|PF|sin60°，
即$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+m），
化簡得：3m²+2m-1=0，
解得：m=$\frac{-2±\sqrt{4+12}}{6}$，即m=$\frac{1}{3}$或0（舍），
∴|PF|=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查求線段長度，注意解題方法的積累，屬于中檔題．