Question

17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，a₁=3，a₃=27，b_n=log₃a_n，S_n是數(shù)列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和，則S₁₀=$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由于a₁=3，a₃=27，可得27=3q²，解得q．可得a_n．可得b_n=log₃a_n=n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₁=3，a₃=27，∴27=3q²，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∴b_n=log₃a_n=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∴S₁₀=$\frac{10}{11}$．
故答案為：$\frac{10}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．