Question

15．已知△ABC的面積為10，P是△ABC所在平面上的一點，滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{AB}$，則△ABP的面積為5．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$可以得到$4\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{CB}$，從而$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，這便得到PA∥CB，且$PA=\frac{1}{2}CB$，從而△ABP的面積是△ABC面積的一半，這便可得出△ABP的面積．

解答 解：如圖，

根據(jù)條件，$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}-3\overrightarrow{PA}$；
∴$4\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{CB}$；
∴$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$；
∴PA∥CB，且PA=$\frac{1}{2}CB$；
∴${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=5$．
故答案為：5．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及共線向量基本定理，三角形的面積公式．