Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，若a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，若3S_n≤m²+2m對任意n∈N^*恒成立，則m的取值范圍為（　　）

• A． -4≤m≤2
• B． m≤-4或m≥2
• C． -2≤m≤4
• D． m≤-2或m≥4

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}是首項a₁=2，公比q=$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，求出通項公式，可得數(shù)列{a_na_n+1 }是公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和公式 求出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1的最大值，利用3S_n≤m²+2m對任意n∈N^*恒成立，即可求出m的取值范圍．

解答 解：由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，可得公比q=$\frac{1}{2}$，首項a₁=2，
∴a_n=2^2-n，a_n+1=2^1-n，∴a_na_n+1 =2^3-2n，∴a₁a₂=2，
故數(shù)列{a_na_n+1 }是公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 =$\frac{2（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$＜$\frac{8}{3}$，
∵3S_n≤m²+2m對任意n∈N^*恒成立，
∴8≤m²+2m，
∴m≤-4或m≥2．
故選：B．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，判斷數(shù)列{a_na_n+1 }是公比為4的等比數(shù)列，是解題的關(guān)鍵．