Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=$\sqrt{2}$．
（1）若b，c是方程x²-$\sqrt{5}$x+1=0的兩根，求△ABC的面積；
（2）若△ABC是銳角三角形，且B=2A，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和韋達定理求出b+c、bc，由余弦定理求出cosA，根據A的范圍和特殊角的三角函數值求出A，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積；
（2）由內角和定理b和條件表示出C，根據銳角的范圍列出不等式求出A的取值范圍，由正弦定理表示出b，根據余弦函數的性質求出b的取值范圍．

解答 解：（1）∵b，c是方程x²-$\sqrt{5}$x+1=0的兩根，
∴b+c=$\sqrt{5}$，bc=1，
又a=$\sqrt{2}$，由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{{（b+c）}^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5-2-2}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）∵△ABC是銳角三角形，且B=2A，
∴C=π-B-A=π-3A，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，則$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{sin2A}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{2sinAcosA}$，得b=$2\sqrt{2}$cosA，
由$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$得，$cosA∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴b=2$\sqrt{2}$cosA的取值范圍是$（2，\sqrt{6}）$．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理，韋達定理，以及余弦函數的性質的應用，屬于中檔題．