Question

4．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥C₁D₁，AB₁⊥BC，且AA₁=AB．
（1）求證：AB∥平面A₁DC；
（2）求證：平面AB₁B⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱的性質(zhì)，可得CD∥C₁D₁，再由公理四可得AB∥CD，運用線面平行的判定定理即可得到證明；
（2）運用菱形的對角線垂直和線面垂直和面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（1）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面CDD₁C₁為平行四邊形，
即有CD∥C₁D₁，又AB∥C₁D₁，
即有AB∥CD，
AB?平面A₁DC，CD?平面A₁DC，
即有AB∥平面A₁DC；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面ABB₁A₁為平行四邊形，
又AA₁=AB，則ABB₁A₁為菱形，
即有AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥BC，A₁B∩BC=B，
即有AB₁⊥平面A₁BC，
由于AB₁?平面AB₁B，
故平面AB₁B⊥平面A₁BC．

點評 本題考查線面平行的判定定理的運用和面面垂直的判定定理的運用，注意運用線線平行和線面垂直的判定定理，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．