Question

20．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F分別是邊AA₁，CC₁的中點，點M是BB₁上的動點，過點E，M，F的平面與棱DD₁交于點N，設BM=x，平行四邊形EMFN的面積為S，設y=S²，則y關于x的函數y=f（x）的解析式為（　　）

• A． $f（x）=2{x^2}-2x+\frac{3}{2}$，x∈[0，1]
• B． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}-x，x∈[0\;，\;\frac{1}{2}）\\ x+\frac{1}{2}，x∈[\frac{1}{2}\;，\;1].\end{array}\right.$
• C． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+\frac{3}{2}，x∈[0\;，\;\frac{1}{2}]\\-2{（x-1）^2}+\frac{3}{2}，x∈（\frac{1}{2}\;，\;1].\end{array}\right.$
• D． $f（x）=-2{x^2}+2x+\frac{3}{2}$，x∈[0，1]

Answer 1

分析 根據正方體的對稱知道四邊形MENF是一個菱形，所以它的面積為兩對角積的一半，又知一對角線EF的長等于正方體的面對角線，另一條可以構造直角三角形，用勾股定理可以用x表示出來，從而求出f（x）的表達式．

解答 解：由對稱性易知四邊形MENF為菱形，
∴${S}_{四邊形EMFN}=\frac{1}{2}MN•EF$
∵EF=$\sqrt{2}$，MN=2$\sqrt{（\frac{1}{2}-x）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
∴${S}_{MENF}=\sqrt{2}•\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$
∴f（x）=2x²-2x+$\frac{3}{2}$，
故選：A．

點評 本題建立S與x的關系式是關鍵，在空間中求線段的長，構造直角三角形是常用的思路．屬于中檔題．