Question

15．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，
（1）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求點D到平面AEC的距離；
（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （ 1）根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面ADE⊥平面BCE；
（2）由BD交平面ACE的交點為BD的中點，可是點D與點B到平面ACE的距離相等，進而根據(jù)BF⊥平面ACE，所以BF為點B到平面ACE的距離，解三角形ABE和三角形CBE可得答案．
（3）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，證明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，從而可得結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，BF⊥CE，
∵EB=BC，∴F是CE的中點，
又∵AD⊥平面ABE，AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
從而BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又AE?平面ADE，
故平面平面ADE⊥平面BCE．
（2）（Ⅱ）如圖，連接BD交AC于點O，則點O是BD的中點，
∴點D與點B到平面ACE的距離相等．
∵BF⊥平面ACE，
∴BF為點B到平面ACE的距離．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．
又∵AE=BE，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∵AE=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，∴BE=2$\sqrt{2}$sin45°=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
又在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{BC×BE}{CE}$=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故點D到平面ACE的距離是$\sqrt{2}$．
（3）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，
在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，
∴CN=$\frac{1}{3}$CE．
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
∴MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG與GN交于G點，
∴平面MGE∥平面ADE．
又MN?平面MGN，
∴MN∥平面ADE．
故N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

點評 本題考查面面垂直和線面平行的判定，以及點到平面的距離的計算，考查了推理論證和邏輯思維能力．