Question

4．已知實數(shù)a，b滿足log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），當(dāng)b=1時，a=$\frac{3}{5}$．當(dāng)a-b取得最大值時，ab=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，得到（a+b）²=4-4a²b²，繼而求出當(dāng)b=1時，a的值，再根據(jù)（a-b）²=（a+b）²-4ab，得到（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab-$\frac{1}{2}$）²+5，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），
∴（a+b）²=4-4a²b²，
當(dāng)b=1時，
∴（a+1）²=4-4a²，
解得a=-1，a=$\frac{3}{5}$，
∵b=1，a+b=0，
∴a≠1，
∴a=$\frac{3}{5}$，
∵4-4a²b²＞0，且a+b＞0，
∴-1＜ab＜1，且a+b＞0，
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab，
∴（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴當(dāng)ab=$\frac{1}{2}$時，（a-b）²有最大值，
∴當(dāng)a-b取得最大值時，ab=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．