Question

20．求函數(shù)f（x）=x³-x+6在區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的極值點(diǎn)，計(jì)算極值，求得端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較即可得到最值．

解答 解：∵f'（x）=3x²-1，
由f'（x）=0得$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

x	-1	$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	6	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	6

由上表得：$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
比較$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$、$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$、x=-1和x=1的函數(shù)值f（-1）=6，f（1）=6，
$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=6+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，$f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=6-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$的大小可得：
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是$6+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，最小值是$6-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查二次不等式的解法，以及函數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．