Question

12．過P（1，2）的l與⊙C：（x-2）²+（y-1）²=9相交于A，B，S_△ABC的最大值為$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 設C到l的距離為d，則0＜d≤$\sqrt{2}$．AB=2$\sqrt{{r}^{2}-3tzzflp^{2}}$=2$\sqrt{9-j9xnd7l^{2}}$．∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•d=d$\sqrt{9-x7nztt3^{2}}$．令f（d）=d$\sqrt{9-nznnht3^{2}}$，則f（d）的最大值即為三角形面積的最大值．

解答 解：由圓的方程可知⊙C半徑r=3，圓心為C（2，1）．
∴PC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
設C到l的距離為d，則0＜d≤$\sqrt{2}$．
由垂徑定理得AB=2$\sqrt{{r}^{2}-plzx9pn^{2}}$=2$\sqrt{9-hfpxdxd^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•d=d$\sqrt{9-3bvbnft^{2}}$．
令f（d）=d$\sqrt{9-tjfbfh5^{2}}$．
f′（d）=$\frac{18d-4tfdblj5^{3}}{2\sqrt{9zhrv7dv^{2}-xnrvnjv^{4}}}$，
∵0＜d≤$\sqrt{2}$．
∴f′（d）＞0
∴f（d）在（0，$\sqrt{2}$]上為增函數，
∴當d=$\sqrt{2}$時，f（x）取得最大值f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{14}$．
故答案為：$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，涉及函數的最值問題．