Question

3．已知O為△ABC的外心，$AB=2AC=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-1$，若$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，則x₁+x₂的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{11}{6}$
• C． 2
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．由$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，兩邊分別作數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答 解：如圖所示，
過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{AO}={x_1}\overrightarrow{AB}+{x_2}\overrightarrow{AC}$，
∴$2={x}_{1}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+${x}_{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，$\frac{1}{2}$=${x}_{1}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+${x}_{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-1，
化為4x₁-x₂=2，-x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，
解得x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=$\frac{4}{3}$．
∴x₁+x₂=$\frac{13}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、圓的垂經(jīng)定理、三角形外心性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．