Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))）．

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值并討論的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由得到，所以，分，兩種情況討論即可得到的單調(diào)性；

（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，不妨設(shè)，令，則，，，，欲證，只需證明，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.

（1），因?yàn)?/span>是函數(shù)的極值點(diǎn)，

所以，所以，所以．

當(dāng)時(shí)，，，所以，

當(dāng)時(shí)，，，所以，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，∴．

由題意知，，

∴，，，，

可得，

不妨設(shè)，令，則．

由，解得，，

∴．

欲證，只需證明，即證，

設(shè)，則．

設(shè)，則，∴單調(diào)遞增．

∴，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，即，原不等式得證．