Question

17．（1）當a為何值時，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解是全體實數(shù)．
（2）當a為何值時，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0無解．

Answer 1

分析 （1）若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是全體實數(shù)，我們分a²-1=0，和a²-1≠0兩種情況進行討論，分別求出滿足條件的a后，綜合討論結(jié)果即可得到答案；
（2）若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0無解，結(jié)合（1）我們分a²-1=0，和a²-1≠0兩種情況進行討論，分別求出滿足條件的a后，綜合討論結(jié)果即可得到答案．

解答 解：（1）當a²-1=0時，a=±1，
若a=1，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0可化為-1＜0恒成立，滿足條件；
若a=-1，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0可化為2x-1＜0不恒成立，不滿足條件；
當a²-1≠0時，若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是全體實數(shù)，
則 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{{（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{5}$＜a＜1，
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是：-$\frac{3}{5}$＜a≤1，
故答案為：-$\frac{3}{5}$＜a≤1．
（2）由（1）得：a=-1時，2x-1＜0有解，不合題意，
a=1時，-1＜0恒成立，不合題意，
當a²-1≠0時，若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0無解，
則：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△{=（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）≥0}\end{array}\right.$，解得：a＞1或a＜-1，
綜上：a＞1或a＜-1時，不等式無解．

點評 本題考查的知識點是類一元二次不等式恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．