Question

14．已知拋物線y²=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線相切，又直線y=2x被雙曲線截得線段長為2$\sqrt{5}$，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），與y²=4x聯(lián)立，利用拋物線與雙曲線相切，所以16b⁴-4a⁴b²=0，可得
b²=$\frac{1}{4}$a⁴，利用直線y=2x被雙曲線截得線段長為2$\sqrt{5}$，且雙曲線關(guān)于坐標軸對稱的性質(zhì)，可求得直線y=2x與雙曲線交于（1，2）和（-1，-2）兩點，代入雙曲線方程，即可求此雙曲線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
與y²=4x聯(lián)立得：a²X²-4b²X+a²b²=0，
因為拋物線與雙曲線相切，所以16b⁴-4a⁴b²=0，
因為b＞0，所以b²=$\frac{1}{4}$a⁴，
雙曲線方程可化為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}{a}^{4}}$=1；
又直線y=2x被雙曲線截得線段長為2$\sqrt{5}$，且雙曲線關(guān)于坐標軸對稱的性質(zhì)，
可求得直線y=2x與雙曲線交于（1，2）和（-1，-2）兩點，
將點（1，2）代入$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}{a}^{4}}$=1，整理得：a⁴-4a²+4=0，
所以a²=2，所以b²=$\frac{1}{4}$a⁴=1，
故雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}-{x}^{2}$=1．

點評 本題考查雙曲線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．