Question

7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖．該幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{10\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為等腰直角三角形，取O為SC的中點(diǎn)，可證OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半徑，代入球的體積公式計(jì)算．

解答 解：由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，高為2，
底面為等腰直角三角形，如圖：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中點(diǎn)為D，
在等腰直角三角形SAC中，取O為SC的中點(diǎn)，∴OS=OC=OA=OB，
∴O為三棱錐外接球的球心，R=$\sqrt{2}$，
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的體積，判斷幾何體的特征性質(zhì)及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是關(guān)鍵．