Question

下表是某市11月10日至23日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇11月10日至11月21日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天（包括到達(dá)的當(dāng)天）．

日期	10	11	12	13	14	15	16
空氣質(zhì)量指數(shù)	85	30	56	153	221	220	150
日期	17	18	19	20	21	22	23
空氣質(zhì)量指數(shù)	85	95	150	124	98	210	179

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（ I）設(shè)A_i表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市”（ i=10，11，…，21）．根據(jù)題意，P(Ai)=

1

12

，由此能求出此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率．
（ II）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本題滿分12分）
解：（ I）設(shè)A_i表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市”（ i=10，11，…，21）．
根據(jù)題意，P(Ai)=

1

12

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）…（2分）
設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，
則B=A₁₂∪A₁₅，
所以P（B）=P（A₁₂∪A₁₅）=

2

12

=

1

6

．…（5分）
（ II）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，
且P(X=0)=P(A13∪A14)=

2

12

，
P(X=1)=P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21)=

6

12

，
P(X=2)=P(A11∪A16∪A17)=

3

12

，
P(X=3)=P(A10)=

1

12

，…（9分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 12	6 12	3 12	1 12

故X的期望EX=0×

2

12

+1×

6

12

+2×

3

12

+3×

1

12

=

15

12

=

5

4

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題目之一．