Question

2．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{2a+2bx+sinx+（a+bx）cosx}{2+cosx}$（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為8，則2a-3b=（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 對函數(shù)解析式化簡整理，轉(zhuǎn)化函數(shù)f（x）-a=bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$判斷出其奇偶性，根據(jù)最大值和最小值和為0，進而求得a，根據(jù)函數(shù)的有界性判斷出b=0，進而求得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{a（2+cosx）+bx（2+cosx）+sinx}{2+cosx}$=a+bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
則f（x）-a=bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$為奇函數(shù)，
則f（x）_max-a+f（x）_min-a=0，
即f（x）_max+f（x）_min=2a，
∵最大值與最小值的和為8，
∴2a=8，則 a=4，
∵f（x）=a+bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
∵若f（x）在R上既有最大值又有最小值，
∴b=0，否則函數(shù)的值域為R，
則2a-3b=8．
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造奇函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．