Question

1．在等比數(shù)列{a_n}中，前5項的積為1，a₆=8，設b_n=log₂a_n．數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則T_n的最小值為-3．

Answer 1

分析 設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于前5項的積為1，a₆=8，利用通項公式可得${a}_{1}^{5}$q^1+2+3+4=1即${a}_{1}{q}^{2}$=1，${a}_{1}{q}^{5}$=8，解出q，a₁．可得a_n．可得b_n=log₂a_n．再利用等差數(shù)列的前n項和公式可得：數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵前5項的積為1，a₆=8，
∴${a}_{1}^{5}$q^1+2+3+4=1即${a}_{1}{q}^{2}$=1，${a}_{1}{q}^{5}$=8，
∴q³=8，解得q=2．
a₁=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
設b_n=log₂a_n=n-3．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n（-2+n-3）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$=$\frac{1}{2}（n-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{25}{8}$．
∴當n=2或3時，T_n取得最小值為-3．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．