Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）圖象的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且該函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為（$\frac{5π}{12}$，4）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x₀）=2（x₀∈（0，2π）），求x₀的取值集合；
（3）若對(duì)區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的距離得出周期，由最大值得出A，代入最高點(diǎn)坐標(biāo)解出φ；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出2x₀-$\frac{π}{3}$的值，結(jié)合x(chóng)₀的范圍解出x₀；
（3）求出f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上最大值與最小的差即可．

解答 解：（1）∵f（x）的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
∵f（x）的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，∴A=4．
∵f（$\frac{5π}{12}$）=4，∴4sin（$\frac{5π}{6}+$φ）=4，
∴$\frac{5π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（x₀）=4sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=2，∴sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∴2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}+2kπ$．即x₀=$\frac{π}{4}+kπ$或x₀=$\frac{7π}{12}+kπ$．
∵x₀∈（0，2π）），
∴x₀的取值集合為{$\frac{π}{4}$，$\frac{7}{12}$，$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$}．
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時(shí)f（x）取得最小值2，當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)f（x）取得最大值4．
∴對(duì)區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．
∴m的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的解析式和性質(zhì)，屬于中檔題．