Question

1．設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若4x²+y²+xy=2，則2x+y-xy的最大值為$\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 由題意已知式子為關(guān)于2x+y的二次函數(shù)，然后利用換元法由二次函數(shù)求最值可得．

解答 解：∵x，y為正實(shí)數(shù)且4x²+y²+xy=2，
∴（2x+y）²=4x²+y²+4xy=2+3xy，
∴xy=$\frac{（2x+y）^{2}-2}{3}$，
∴2x+y-xy=（2x+y）-$\frac{（2x+y）^{2}-2}{3}$，
令2x+y=t，則上式=t-$\frac{{t}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{12}$≤$\frac{17}{12}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x+y=t=$\frac{3}{2}$時(shí)，2x+y-xy取最大值$\frac{17}{12}$
故答案為：$\frac{17}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，把已知式子化為關(guān)于2x+y的二次函數(shù)并換元后由二次函數(shù)求最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．