Question

如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．

（1）求證：⊥面；

（2）求二面角的大�。�

Answer 1

解法一：（1）依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，

則⊥。              

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。

因為⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設(shè)，由得，，解得，

即

在中，，則。

所以，故二面角的大小為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

  

所以

所以         

所以平面           

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

同理:

設(shè)是平面的一個法向量,則

即令得

又是平面的一個法向量

所以

由圖可知，所求二面角的大小為