Question

3．若函數f（x）的自變量x在區(qū)間I上，恒有f（x）＜0（或f（x）＞0），則稱f（x）是區(qū)間I上的“負任性函數”（或“正任性函數”）．已知g（x）=x-$\frac{1}{x}$，函數f（x）=mg（x）+g（mx）是區(qū)間[1，+∞）上的“負任性函數”，則實數m的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 通過化簡可知當x∈[1，+∞）f（x）=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，當m＞0時即解不等式2m²x²＜m²+1，當m＞0時即解不等式2m²x²＞m²+1，計算即得結論．

解答 解：∵g（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=mg（x）+g（mx）
=m（x-$\frac{1}{x}$）+mx-$\frac{1}{mx}$
=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$，
∵函數f（x）是區(qū)間[1，+∞）上的“負任性函數”，
∴當x∈[1，+∞），f（x）=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，
下面對m的正負進行討論：
①當m＞0時，2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，即2m²x²＜m²+1，
∴${m}^{2}＜\frac{1}{2{x}^{2}-1}$，
∵x∈[1，+∞），
∴2x²-1∈[1，+∞），$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$∈（0，1]，
∴m²＜0，無解；
②當m＞0時，2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，即2m²x²＞m²+1，
∴m²＞$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$，
∵x∈[1，+∞），
∴2x²-1∈[1，+∞），$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$∈（0，1]，
∴m²＞1，
∴m＜-1或m＞1（舍）；
綜上所述：m＜-1，
故答案為：（-∞，-1）．

點評 本題考查函數的最值，涉及解不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．